我的数学求学之路—-兼谈数学学习

我 的数学之路可追溯到高三时因备战高考而读的两套数学参考书，一套侧重于思想方法，另一套则侧重于解题技巧。虽然后者对我提高成绩和激发兴趣起了很大作用， 前者却让我接触到了真正的数学并影响了我以后的数学学习。那时我并不明白前者揭示的才是数学学习的正途，只是感到它和我平常接触的数学不同。遗憾的是，当 时我读它读了两遍成绩却没什么提高，而后者只读了一遍成绩却有大幅度的提高。现在回想起来，这就好像武侠小说中描述的玄门正宗武功初学时见效慢只有日久才 能显其威力，而邪派武功则易于速成却难有大成。如今的应试教育使得大批的学生迷茫于解题技巧之中，把解题等同于学数学，不仅误人子弟，而且严重损害了我国 数学事业的根基使得人才凋零。

真正意义下的数学之路开始于进入大学数学专业学习之后。大一时我读了王元写的《华罗庚传》，对这位众所周知 的传奇人物十分敬仰。对伟大人物的崇拜和数学的抽象性使我觉得数学非常的神秘。我困惑于这种神秘，想要了解它。像大多数的学生一样，我按部就班地跟随课堂 学习数学。两年多的时间过去后，我依然感到自己什么都没学懂。极限对我来说是一个模模糊糊的概念，我不知道连续到底是什么，我知道微分积分的法则，但它们 究竟是什么呢？我头脑里积存了太多的问题，却无法解答。我甚至不相信自己有能力解答。我觉得数学是神秘的，我只能窥探它而不能了解它。我读数学人物传记， 读数学史。我没法完全读懂它们，但我喜欢读它们，因为读它们比读教材容易。我觉得只有读它们才能触及到数学的灵魂，才能了解数学。我似乎对数学兴趣十足， 但阅读教材又真正令我头疼。我读不懂书中的证明，我解不出书后的习题。这个样子让我没法相信自己能够掌握数学。现在回想起过去的这样一段经历，我应该如何 理解它呢？它表明我不够聪明，还是太过聪明？前者容易理解，后者呢？因为关于“懂”与“不懂”的标准，每个人是不一样的。有一件事令我印象深刻，就是在读 研时学广义函数期间，有一个同学问过我一个问题，那个问题我思考过但还没考虑清楚，我把我想到的一些想法和他说了，在我还没说完我的想法前，他打断我很高 兴地说：“我懂了”。于是我没再说什么。苏格拉底说知道自己笨的人是聪明人，那么有时知道自己不懂的人是否比觉得懂了的人懂得更多一些呢？在上大学前，我 便对自己的抽象思维能力颇为欣赏，我相信我有超越常人的洞察力。也许当时我意识到自己不懂，恰说明我比别人懂，因为我想明白的比别人要多，我要的是完完全 全的理解，如果对一个概念的理解有一个止境的话，我想要到达那个境界。至于当时我到底是属于哪一种情形（比别人懂还是不懂，够聪明还是不够聪明）恐怕是没 有答案的，而且追究这样一个答案也是没有意义的，重要的是我用了什么样的标准去学数学，重要的是数学应该学到什么程度。数学应该学到什么程度呢？如果说理 解有无止境本身就是一个问题的话，一个比较现实的标准是你是否达到了数学家（甚至顶级数学家）的理解程度（这个标准是在后来的学习中逐渐明确的）。验证自 身的理解程度的一个好方法是通过读名家大师的著作来印证自己的理解。在中国现今的数学教育下，学数学是不能和身边的人比得，因为比身边的人强一般来说是没 什么意义的。现在数学系的学生百分之九十以上甚至谈不上了解数学，更何况懂呢？他们大多虽身处数学系却不以学习数学为目标，更不用谈用功学习。胜之不武 啊！

再回头来说我当时的情况，大一时我读不懂书中偏难的证明，解不出书后的许多习题。那种水平恐怕比许多刚开始学数学的人都差。所幸的是 我不曾因此而放弃数学，一直坚持学习，坚持不以考试为目标的学习，坚持阅读书中的证明，坚持追求对概念和思想方法的理解。总的来说，大三以前我不懂数学， 但在某种意义上讲我了解了数学。学习数学的层次可以划分为“how”和“why”。工科生学数学是在“how”的层次上；数学系的学生应该到“why”的 层次上。先知道“how”然后明白“why”这符合人的认知规律，绝大多数人都是知道了“how”便觉得懂了，我却一直在问“why”。现在学校的数学教 育实在不能入目，课堂上的教学一般也就到“how”这个层次，至于“why”连好多讲课的老师自己都不知道，更不用提给学生讲了。实际上，即便老师知道 “why”，在课堂上也讲了“why”，一般学生也不能做到“understand why”。这是数学学习的一个特点，不经过自己思考的东西是不能够充分吸收理解的，不经过思考性的自学便不能够到达“know why”的层次。或许如果当时我满足于会形式的计算与推理，我在数学上就不会感觉到那样的困难，以至于连信心都丧失掉了。很大程度上，正是追求“why” 使我困惑。大三以后，我花了很长的时间重学数学分析和高等代数，逐字逐句地读，咬文嚼字地读，结合不同的教材读，在阅读中把头脑中积累下来的那些 “why”扫除干净。通读一次之后，对数学的认识大有提高，连学数学信心也恢复了不少，原来那些问题是我自己就可以解决的，原来我是可以学懂数学的，原来 数学一点都不神秘。但是过后又会有新的“why”冒出来（学数学的境界提升了就会看出新的问题），于是常常不时返回头去解决它们。就这样我把分析学的主干 课程全部重学一遍。我现在的数学基础差不多就是这样奠定下来的。事实上，数学学习本就是一个反复学习的过程，一次学习就理解到位是不可能的。刚开始学时， 一切都是陌生的，大量的概念和定理必定会使人感到接受起来困难，何况课堂教学不可能等待学生搞懂了前面的部分再继续下去。经过了初步的学习之后，对其中的 大多数内容在头脑中已有一定的印象，再次学习时就可以把重点放在理解上。如果我在数学分析等课结束后便返回头来重学，而不是等到大三之后，或许会早一点打 好基础，不至于使后续课程的学习全成了夹生饭，以至于要全部重学。之所以在重新学习那些课程时会感到容易得多，我想不仅仅是教材选择的问题，更重要的或许 是多年数学学习的积累。人人都知道成功之路必定布满荆棘，但大多数人只想获得成功，空喊口号却不付诸实际努力，最终怨天尤人唯独不怨自己。所以在感到困难 的时候，要明白获得成功之前必定要先历经艰辛。

重学几乎全部的基础课程是一个庞大的计划，远不是短时间内可以完成的。到本科毕业前，我只 对数学分析和高等代数感到比较满意。其余有些课程虽然重新看过，但由于时间有限，效果不能令人满意。这个计划需要大量的时间和精力。我整个硕士阶段有三分 之二的时间在补基础，在重学本科知识，新东西学得很少。当时也想学新东西，只是不把基础补起来新东西根本就看不懂，看多少遍都看不懂。必须感谢导师对我的 支持。他认为硕士阶段就是打基础，很难做什么东西。他也不管我具体在做什么，给我很大的自由。现在我学新东西速度还算快。以前对华罗庚说的“熟能生巧、勤能补拙”总有些怀疑，现在才体会到的确如此。现在偶尔能听到有人说我聪明，我相信这份“聪明”来自苦功夫。

我 是在工科院校学的数学。这对于一个以数学为事业的人来说是个不幸。我本科的课程有一半是计算机课程。数学考试也很简单，检测不出一个人的真实水平。那样的 考试拿一百分和六十分我觉得在实际水平上都没什么差别，反正过一段时间大家都忘了，就好像什么都没学一样。我被这种考试制度害苦了。我是第一名，所有人眼 中的好学生。可是我觉得我根本就不懂数学。有许多数学家都谈过数学学习方法，谈过学数学应掌握到什么程度。我读过，我知道，但我没能照做，因为我没有那么 多时间那样学数学，我需要交作业，我需要跟着课堂跑。大家都知道现在本科生课程安排有多满，多得没时间自由思考。也许会有人马上反驳我，事实不是这样的。 你没看到很多人学得都很轻松，玩了四年大学不也毕业了吗？是的，只靠考前突击过关的人从来不会嫌课多。现在数学系招那么多人，每个班至多只有几个人会走数 学的道路。总不能为了几个人，让大部分人考试不过关吧；总不能为了几个人，不考虑其他人的就业问题吧。数学系的培养目标不是培养数学人才，奇怪的是，哪当 初干嘛要招那么多的学生呢？让他们直接进其它专业学习不更好吗？这是一种变了质的教育。回想当初，现实中的考试曾让我怀疑是否有必要深入地掌握数学，现实 中没有人（亲口）告诉我我该怎么学数学，应该学到什么深度。也许，我的幸运在于大三下学期遇到了我的硕士导师，也是我现在的导师。他是我在现实中接触过的 第一位真正的数学家。从他身上，我看到了书中描述的数学家的品质。此前，我见过数学教授。见多了所谓的教授、副教授我曾经一度怀疑书中描述的数学家世界只 是一个虚幻。直到见到他，我不再怀疑。如果华罗庚是我的第一个，（当然）也是永远的精神导师，那么从那时起我有了一个实实在在的数学家导师。我接触到了数 学家世界，我渴望已久的世界，原来它不是一个梦幻。然而，可悲的是，我那考试得来的第一名对我进入这个世界毫无帮助。我意识到我必须重头学起。我感到自己 无比的渺小，以至于不敢考研（我错过了一次进入中科院数学与系统科学研究院的机会，错过了跟随一位院士学习的机会）。另一方面，提前决定保研（我的成绩和 拿过数学建模全国一等奖，美国二等奖保证了这个选择没有任何风险）为我争取到了重学数学的大量时间，因为大四的课程总是很少的，而我又不必为考研付出时 间。现在回想起这段经历，我也不觉得有什么后悔。以我原来的基础，跟随无论多么伟大的数学家都不会有什么作为。

思考是一件美妙的事。我重 学数学，我选择全套北大的教材，我开始 思考（我原来没思考吗？有时间思考吗？）。后来我发现并不一定北大的教材就是同类教材中最好的，但是当我没有选择判断教材好坏能力的时候，那真是一个不错 的选择。我至少在某种意义上接受了和北大学生同样好的数学训练（北大学生有意见吗？他们真是幸福，有老师。而我是我自己的老师）。只读数学教师的书会让你 成为数学家吗？只读数学教材会让你成为数学家吗？波利亚说“应该读数学家的著作”。如果你有心的话，会发现著名数学家写的基础著作和科普著作原来有很多 （这辈子你读得完吗？），读吧，看看数学家心中的数学。数学家心中的数学是一致的吗？你会发现数学家对数学的理解都有独到之处，甚至存在截然不同的观点。 当有一日，你发现你开始对数学有了自己的理解，（或者说，你不能人云亦云，对伟大的数学家也是如此，你应当有自己的观点），祝贺你！你快成数学家了。你只 需做出自己的发现了。

我自己还不是一个数学家，甚至终身可能与这一头衔无缘。人生有自己的努力，也有命运的安排。命运安排我学了控制论（一个应用数学分支），这个领域的头衔是控制论专家。所以，上一段话的结尾是大胆的鼓励。

虽然我对中国的学校教育多有批评，也极少提到数学教师的作用，但因此而抹煞掉教师的功绩就太不公平了。我从多数的教师那里获得过启发，必须感谢他们的教育。

我 的学习过程有一个很大的缺陷，就是因为时间紧张又要急着看更多的书结果做题太少。现在我想返回头来做题，但是时间不允许这样做。因为博士生“know why”是不够的，要“learn how to create and begin to do mathematics”。博士阶段最重要的还是写论文（开展创造性的工作）。写论文之前首先要读论文。读论文是博士阶段学习的主要手段。没有好的数学基 础很难写出论文或高水平的论文，甚至根本就读不懂前沿的文献。